Tứ giác nội tiếp

Phần 2: nội dung của đề tài
A. Nội dung của đề tài
I.Cơ sở lí luận khoa học của đề tài
II. Đối tượng phục vụ cho quá trình nghiên cứu xây dựng đề tài
III. Nội dung phương pháp nghiên cứu
* Phương pháp nghiên cứu
* Nội dung nghiên cứu
Nếu tứ giác ABCD có :
A+C=2V hoặc B+D=2V
A
D
C
B
x
giả sử xAD = BCD
thế thì vì xAD + DAB = 2V (kề bù)
BCD + BAD = 2V => tứ giác
ABCD nội tiếp
O
Gọi tia đối của tia AB là tia Ax chẳng hạn
Suy ra ABCD là tứ giác nội tiếp một đư
ờng tròn.

C
B
A

D
Đặc biệt hoá bài toán tứ giác ABCD có
BAD = BCD =
0
90
0
90
0
90
0
180
=>Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD.
Thế thì BAD + BCD = + =

A
B
C
d
- Xét tứ giác ABCD có DAC = DBC
Với A, B nằm ở cùng một nửa mặt phẳng
bờ chứa DC ta sẽ chứng minh tứ giác ABCD
nội tiếp .
- Khi cho = ta có DAC = DBC =
Và A, B cùng một nửa mặt phẳng bờ DC thế thì
tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính DC.
0
90
0
180
0
90
0
0
vì do DC cố định nên A, B nằm trên cung chứa góc dựng trên đoạn
DC (theo bài toán quỹ tích cung chứa góc)
Suy ra bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác
ABCD nội tiếp .
Thật vậy, giả sử DAC = DBC = ( < < )
A

B
C
D

Đảo lại: Nếu tam giác MAC và tam giác MDB đồng dạng với A thuộc
đoạn BM và D thuộc đoạn MC thì tứ giác ABCD nội tiếp.
+ Theo tính chất của tam giác đồng dạng ta lại có từ tam giác MAD
đồng dạng với tam giác MCB suy ra:
MA . MB = MC . MD
Thật vậy, vì tam giác MAC đồng dạng với tam giác MDB suy ra
ABD = DCA => tứ giác ABCD nội tiếp ( B, C ở cùng một nửa mặt
phẳng bờ AD và nhìn AD dưới hai góc bằng nhau )
+ Từ đó nếu có tam giác MAC đồng dạng với tam giác MDB, ABM,
D MC => Tứ giác ABCD cũng nội tiếp.
Vậy là ta lại có cách chứng minh tứ giác nội tiếp bằng tỷ lệ thức:
MA . MB = MC . MD, A BM, D MC => Tứ giác ABCD nội tiếp.
Giả sử AB cắt DC tại M
A

B
C
D
M
- Lại xét tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn :
MB
MD
MC
MA
=
ta suy ra được ABD = ACD
vậy là tam giác MAC và MDB đồng dạng

A
1
+ C
1
= +
Cách 3
OA = OB = OC = OD
Cách 1
Hình vẽ minh hoạHệ thức Cách chứng minh
A
C
D
B
Cách 2
0
0
2 1
1 1
B D 180
2.a)
A C 180
2.b) A C

+ =

+ =


=
C
A
B
D
x
1
1
2
0
90
0
90
C
A
B
D
1
1
bảng hệ thống phương pháp chứng minh
tứ giác nội tiếp một đường tròn

(Hình bên phải tứ giác
ACBD nội tiếp)
MA . MB = MC . MD
Cách 6
Cách 4
Hình vẽ minh hoạHệ thức Thứ tự cách chứng minh
Cách 5






=
=
=
=
11
22
22
11
CD
CB
DA
BA
D
A
B
C
A
B
C
D
M
A
B
C
D
M
O
0
1 1
A B 90
= =
1
1
C
D
1
A
B
1
1
2
2
1
2
2

Kết hợp với tính chất của tứ giác nội tiếp ta có : điều kiện cần và đủ
để tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O là thoả m n một trong ã
các hệ thức trên.
Với cách hệ thống hoá như trên học sinh được ghi nhớ một cách lôgic
và từ đó nhận biết nhanh được tứ giác nội tiếp một đường tròn và cũng từ
đó sử dụng nhanh các tính chất của tứ giác nội tiếp trong giải toán hình
học .
Ngoài ra, với giáo viên ta cần nhớ thêm một số cách chứng minh tứ
giác nội tiếp từ bài toán về đường thẳng Simson, định lý P.tôlêmê và bài
toán khác:

Bài toán 1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); M là điểm bất kỳ. Gọi E,
F, K lần lượt là hình chiếu của M xuống AB, BC, CA. Chứng minh rằng điều kiện
cần và đủ để M (O) là E, F, K thẳng hàng (cùng nằm trên đường thẳng
Simson)
+Nếu M trùng một trong ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC thì bài toán hiển
nhiên đúng.
MAE K
B
C
A
C
A
B
C

M


F

K
O
O
O
F
K
M

B

E


F
E

=> (3), (4) (5)
(cùng cộng góc AMF và ABC cho ). Từ
(3), (4), (5) => (2) => (1)
i) Điều kiện cần: M(O) thì E, K, F thẳng hàng
(1):
2 2

M K
=
11

KM
=
2 1

M M
=
+Ta xét trường hợp M thuộc nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B, các trường
hợp còn lại chứng minh tương tự.
0
180
Thật vậy: từ giả thiết và từ các tứ giác MEAK, MKFC và MEBF nội tiếp =>
, , (đối đỉnh)

11

KM
=
2 2

M K
=
21

KK
=
0
1 2

AMC ABC AMF M ABC AMF M ABC 180
+ = + + = + + =
1
2
1
2
A
E
B
C
M
K
O
F
ii) Điều kiện đủ: Có (1) => M(O) (6) <=> tứ giác MABC nội tiếp (7).
(1)<=> (2). Thật vậy,
các tứ giác MEAK, MKFC, AMCB,
EMFB nội tiếp
1 2

K K
=
=> (7) => (6).

Bài toán 2. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác
ABCD nội tiếp một đường tròn là AB.CD + BC.AD=AC.BD (nh lý P.Tụlờmờ).
A
B
C
D

Xem chi tiết: Tứ giác nội tiếp