Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
4
Ngô Thị Thu Thủy
Chương 1
ĐỊNH LÍ DUBOVITSTKII-MILYUTIN
Chương 1 trình bày định lý Dubovitskii-Milyutin (1965, [1]) và một số
kết quả có liên quan trong giải tích không trơn.
1.1. CÁC KIẾN THỨC BỔ TRỢ
Giả sử X là không gian tôpô tuyến tính,
X
là không gian liên hợp của
X, K là một nón trong X có đỉnh tại 0, tức là
( 0).KK
Khi đó nón
liên hợp
K
của K được định nghĩa như sau:
: , 0, .K x X x x x K
Mệnh đề 1.1 ([6])
Giả sử K là nón có đỉnh tại
0
, xx
là một phiếm hàm tuyến tính và
, .x x x K
Khi đó,
0
, , .x x x x x K
Mệnh đề 1.2 ([6])
Hai tập lồi khác rỗng bất kì không tương giao trong không gian tôpô
tuyến tính, một tập có điểm trong thì tách được.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
5
Định lí 1.1
Giả sử K là một nón lồi có đỉnh tại 0,
,intK
L là một không gian
con,
.intK L
Giả sử
x
là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên L
thỏa mãn
, 0 .x x x K L
Khi đó, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục
x
trên X sao cho
, , ,
, 0 .
x x x x x L
x x x K
Chứng minh
(a) Nếu
0x
trên L , thì ta chọn
0.x
(b) Nếu
0x
, ta đặt
1
: : , 0 .Q x L x x
Khi đó,
1
Q
lồi và khác
(bởi vì
1
0 Q
). Đồng thời
1
.Q intK
Thật vậy, nếu
1
01
00
.
.
, , 0.
Q intK
x Q intK
x L x x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
6
Bởi vì
0
,x L intK
cho nên trong lân cận của điểm
0
x
ta tìm được điểm
1
x L K
mà
1
, 0.xx
Điều đó mâu thuẫn với tính không âm của
,xx
trên
LK
. Vì vậy,
1
Q intK
.
Do đó, tồn tại siêu phẳng tách
1
Q
và
,int K
tức là tồn tại phiếm hàm
tuyến tính liên tục
X
sao cho
1
, 0 , (1.1)
, 0 . (1.2)
x x intK
x x Q
Để chứng minh tiếp định lý, ta cần bổ đề sau:
Bổ đề 1.1
Giả sử
12
, , X
11
22
: : , 0 ,
: : , 0 ,
Q x x
Q x x
và
12
QQ
. Khi đó, hoặc
2
0
( tức là
2
QX
) hoặc
12
= , 0
(tức là
12
QQ
).
Bây giờ trên không gian con L ta xét hai phiếm hàm tuyến tính liên tục
x
và
. Xét các tập hợp:
1
2
: : , 0 ,
: : , 0 .
Q x L x x
Q x L x
Ta có
12
QQ
(do (1.2)). Áp dụng bổ đề 1.1, ta nhận được hai trường hợp:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
7
(i) Hoặc
12
,QQ
(ii) Hoặc
2
.QL
Trường hợp (ii) không thể xảy ra, bởi vì từ (1.1) ta có
, 0,x
nếu
.x L intK
Vì vậy, theo bổ đề 1.1
, , 0x x x
trên L. Bởi vì
,xx
và
, x
cùng dấu trên
,KL
cho nên
0.
Khi đó,
x
là thác triển cần tìm của
.x
Mệnh đề 1.3 ([6])
.
I
I
KK
1.2. ĐỊNH LÝ DUBOVITSKII-MILYUTIN
Định lý 1.2.
Giả sử
12
, , ,
n
K K K
là các nón lồi mở (đỉnh tại 0),
1
.
n
i
i
K
Khi đó,
1
1
.
n
n
ii
i
i
KK
Chứng minh
Xét không gian tích
.
n
X X X X
Mỗi điểm
xX
có dạng:
1
, , , ;
ni
x x x x X
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
8
; X X X
X
có dạng:
1
1
, , , ;
, , .
ni
n
ii
i
X
xx
Đặt
1
: , , : , 1, , .
n i i
K x x x x K i n
Ta có
K
là một nón lồi mở trong
,X
bởi vì
K
là tích của các nón lồi mở
.
i
K
Đặt
: , , : .L x x x x X
Ta có
L
là không gian con tuyến tính của
.X
Bởi vì
1
n
i
i
K
, cho nên
.LK
Bây giờ ta lấy
1
.
n
i
i
xK
Ta sẽ chứng minh
1
.
n
i
i
xK
Đặt
, , ,x x x
trong đó
, , , .x X x x x L
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9
Khi đó,
là một phiếm hàm tuyến tính trên
L
. Ta có
, 0 ,x x L K
bởi vì
, , .x x x L K
1
.
, , 0.
n
i
i
xK
x x x
Áp dụng định lý 1.1, tồn tại
X
sao cho
, 0 , (1.3)
, , . (1.4)
x x K
x x x L
Giả sử
1
, , .
n
Khi đó, với mọi
,xX
thì
,,x x x L
và từ
(1.4) ta có
1
1
, , = , = , .
.
n
i
i
n
i
i
x x x x x
x
Từ (1.3), ta suy ra
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
10
1
, 0 , 1, , .
, 0 .
1, , .
n
i i i i
i
i i i i
i
x x K i n
x x K
K i n
1
1
1
.
.
n
i
i
n
n
ii
i
i
xK
KK
Mặt khác, theo mệnh đề 1.3,
1
1
.
n
n
ii
i
i
KK
Do đó, định lý được chứng minh.
Định lý 1.3 (Dubovitskii-Milyutin)
Giả sử
1 2 1
, , , ,
nn
K K K K
là các nón lồi đỉnh tại 0; Các nón
12
, , ,KK
n
K
mở. Khi đó,
1
1
1, , 1
n
i i i
i
K x K i n
không đồng thời bằng
0, sao cho
11
0. (1.5)
nn
x x x
Chứng minh
a
Điều kiện cần. Giả sử
1
1
.
n
i
i
K
Trường hợp 1 :
1
.
n
i
i
K
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
11
Đặt
1
:.
n
i
i
KK
Khi đó,
,K
mở và
1
.
n
KK
Theo mệnh đề 1.2,
tồn tại
, 0x X x
sao cho
1
, , , .
n
x y x x x K y K
Bởi vì K là nón có đỉnh tại 0, cho nên từ mệnh đề 1.1 ta suy ra
1
, 0 , , .
n
x y x x x K y K
(1.6)
Từ đó,
1
.
n
i
i
x K K
Áp dụng định lý 1.2 ta nhận được
1
, 1, , .
n
i i i
i
x x x K i n
Đặt
1n
xx
. Khi đó, từ (1.6) suy ra
11nn
xK
. Hơn nữa
1
0
n
x
và
11
0.
nn
x x x
Trường hợp 2 :
1
.
n
i
i
K
Khi đó, tồn tại
: 1s s n
sao cho
1
11
, .
ss
ii
ii
K K K
Áp dụng trường hợp 1 (với s đóng vai trò là n) ta nhận được
1
1, , 1 , 0
i i s
x K i s x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12
sao cho
11
0.
ss
x x x
Chọn
21
0
sn
xx
ta nhận được (1.5).
b
Điều kiện đủ. Giả sử tồn tại
1, , 1
i
x i n
không đồng thời bằng
0 sao cho
11
0,
nn
x x x
nhưng
1
1
.
n
i
i
K
Do đó, tồn tại
0
1, , 1
i
x K i n
. Đồng thời, tồn tại chỉ số
: j
1 jn
sao cho
0
j
x
, bởi vì nếu không thì
1
1
0
n
ni
i
xx
, vì thế
1
,x
1
,
n
x
đồng thời bằng 0.
Ta có
0
, > 0
j
xx
( bởi vì
j
K
mở, nếu
0
, = 0,
j
xx
thì tồn tại
1 j
xK
sao cho
1
, < 0 (!)
j
xx
). Do đó,
1 1 0 0
0 , , 0 :
n n j
x x x x x x
vô lí (!).
Định nghĩa 1.1
Véc tơ v được gọi là phương giảm của hàm
fx
tại
0
x
, nếu tồn tại lân
cận U của v, số
0
và số
0
0
sao cho
0
0, , ,uU
ta có
00
(1.7)
f x u f x
Các phương giảm của f tại
0
x
lập thành nón mở có đỉnh tại 0.
Hàm f được gọi là giảm đều, nếu nón các phương giảm của f tại
0
x
là lồi.
Định nghĩa 1.2
Véc tơ v được gọi là phương chấp nhận được của tập Q tại
0
x
, nếu tồn
tại lân cận U của v, số
0
0
sao cho
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
13
00
0, , : u U x u Q
Tập các phương chấp nhận được lập thành một nón ta gọi là nón chấp
nhận được của Q tại
0
x
.
Các phương chấp nhận được của tập Q tại
0
x
lập thành nón mở với đỉnh
tại 0.
Ta gọi hạn chế Q loại bất đẳng thức là đều tại
0
,x
nếu nón các phương
chấp nhận được tại
0
x
là lồi.
Đối với các hạn chế loại đẳng thức, tức là không có điểm trong, nón các
phương chấp nhận được (theo định nghĩa 1.2) bằng
.
Định nghĩa 1.3
Véc tơ v được gọi là phương tiếp xúc với Q tại
0
x
, nếu
00
0, 0, ,
xQ
sao cho
0
,x x v r
trong đó
rX
sao cho với bất kì lân cận U của 0:
r
U
với mọi
0
đủ nhỏ.
Tập các phương tiếp xúc với Q tại
0
x
lập thành một nón ta gọi là nón tiếp
tuyến của Q tại
0
x
.
v là phương chấp nhận được của Q tại
0
x
v là phương tiếp xúc của Q
tại
0
x
.
Các phương tiếp xúc với Q tại
0
x
lập thành một nón có đỉnh tại 0. Nón
các phương tiếp xúc không đóng cũng không mở. Trong nhiều trường hợp
nón đó là một không gian con.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét