Tổ hợp hay của thầy Tùng

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "Tổ hợp hay của thầy Tùng": http://123doc.vn/document/567035-to-hop-hay-cua-thay-tung.htm

Trần Só Tùng Đại số 11
Bài 15: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào một chiếc ghế dài
sao cho:
a/ Bạn C ngồi chính giữa?
b/ Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế?
ĐS: a/ 24. b/ 12.
Bài 16: Một hội nghò bàn tròn có phái đoàn của các nước: Mỹ 5 người, Nga 5 người, Anh 4
người, Pháp 6 người, Đức 4 người. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp cho mọi thành viên sao
cho người cùng quốc tòch ngồi gần nhau?
ĐS: 143327232000.
Bài 17: Sắp xếp 10 người vào một dãy ghế. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
a/ Có 5 người trong nhóm muốn ngồi kề nhau?
b/ Có 2 người trong nhóm không muốn ngồi kề nhau?
ĐS: a/ 86400. b/ 2903040.
Bài 18: Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ
ngồi nếu:
a/ Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau?
b/ Chỉ có nữ ngồi kề nhau?
ĐS: a/ 34560. b/ 120960.
Bài 19: Có bao nhiêu cách sắp xếp 12 học sinh đứng thành 1 hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết
rằng trong đó phải có 5 em đònh trước đứng kề nhau?
ĐS: 4838400.
Bài 20: Có 2 đề kiểm tra toán để chọn đội học sinh giỏi được phát cho 10 học sinh khối 11 và
10 học sinh khối 12. Có bao nhiêu cách sắp xếp 20 học sinh trên vào 1 phòng thi có 5 dãy
ghế sao cho hai em ngồi cạnh nhau có đề khác nhau, còn các em ngồi nối đuôi nhau có
cùng một đề?
ĐS: 26336378880000.
Bài 21: Có 3 viên bi đen (khác nhau), 4 viên bi đỏ (khác nhau), 5 viên bi vàng (khác nhau), 6
viên bi xanh (khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi trên thành một dãy
sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau?
ĐS: 298598400.
Bài 22: Trên giá sách có 30 tập sách. Có thể sắp xếp theo bao nhiêu cách khác nhau để có:
a/ Tập 1 và tập 2 đứng cạnh nhau?
b/ Tập 5 và tập 6 không đứng cạnh nhau?
ĐS: a/ 2.29!. b/ 28.29!.
Bài 23: Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1
có mặt đúng 3 lần, chữ số 2 có mặt đúng 2 lần và mỗi chữ số còn lại có mặt đúng một lần?
ĐS: 3360.
Bài 24: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ
số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng 1 lần.
ĐS: 5880.
Bài 25: Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5.
Hỏi có bao nhiêu số như thế nếu:
a/ 5 chữ số 1 được xếp kề nhau?
b/ Các chữ số được xếp tuỳ ý?
ĐS: a/ 120. b/ 3024.
Trang 25
Đại số 11 Trần Só Tùng

III. Chỉnh hợp
1. Chỉnh hợp (không lặp):
Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1
≤
k
≤
n) theo một thứ tự
nào đóđược gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:
!
( 1)( 2) ( 1)
( )!
k
n
n
A n n n n k
n k
= − − − + =
−
•
Công thức trên cũng đúng cho trường hợp k = 0 hoặc k = n.
•
Khi k = n thì
n
n
A
= P
n
= n!
2. Chỉnh hợp lặp:
Cho tập A gồm n phần tử. Một dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể được
lặp lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất đònh được gọi là một chỉnh hợp lặp
chập k của n phần tử của tập A.
Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử:
k k
n
A n=
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
A =
2 5
5 10
2 5
7
A A
P P
+
B =
1 2 3 4
1 2 2 3 3 4 4 5 1 2 3 4
P A P A P A P A P P P P+ + + −
C =
12 11
10 9
49 49
17 17
10 8
49 17
A A
A A
A A
+
+
−
D =
2
5 4 3 2
5
4 3 2 1
5 5 5 5
P P P P
A
A A A A
 
+ + +
 ÷
 ÷
 
ĐS: A = 46; B = 2750; C = 1440; D = 42
Bài 2: Chứng minh rằng:
a/
2 2 2
2 3
1 1 1 1
, , 2.
n
n
với n N n
n
A A A
−
+ + + = ∈ ≥
b/
1
1 1
.
k k k
n n n
A A k A
−
− −
= +
c/
2 1 2
.
n n n
n k n k n k
A A k A
+ +
+ + +
+ =
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a)
3
20
n
A n=
b)
3 2
5
n n
A A+
= 2(n + 15) c)
2 2
2
3 42 0.
n n
A A− + =
ĐS: a) n = 6 b) n = 3 c) n = 6
Bài 4: Tìm n ∈ N sao cho:
a)
2
4
1 3
210
.
n
n
n
P
A P
+
−
−
=
b) 2(
3 2
3
n n
A A+
) = P
n+1
c)
2 2
2 6 12
n n n n
P A P A+ − =
ĐS: a) n = 5 b) n = 4 c) n = 2; 3
Bài 5: Giải các phương trình:
a/
10 9 8
9 .
x x x
A A A+ =
b/
2 2
. 72 6( 2 )
x x x x
P A A P+ = +
Trang 26
Trần Só Tùng Đại số 11
c/
2 2
2
2 50
x x
A A+ =
d/
1
1
1
.
72.
y
x x y
x
A P
P
+
+ −
−
=
ĐS: a/ x = 11. b/ x = 3; 4. c/ x = 5. d/ x = 8,
7, .y y N≤ ∈

Bài 6: Giải các bất phương trình:
a)
4
4
15
( 2)! ( 1)!
n
A
n n
+
<
+ −
b)
4
2
2 1
143
0
4
n
n n
A
P P
+
+ −
− <
ĐS: a) n = 3; 4; 5 b) 2
≤
n
≤
36
Bài 7: Tìm các số âm trong dãy số
1 2 3
, , , ,
n
x x x x
với:
4
4
2
143
( 1, 2, 3, )
4.
n
n
n n
A
x n
P P
+
+
= − =
ĐS:
1 1 2 2
63 23
1, ; 2, .
4 8
n x n x= = − = = −
Bài 8: Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ. Người ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép
thành 3 cặp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
ĐS: Có
3 3
10 6
.A A
cách
Bài 9: Trong không gian cho 4 điểm A, B, C, D. Từ các điểm trên ta lập các vectơ khác vectơ
– không. Hỏi có thể có được bao nhiêu vectơ?
ĐS:
2
4
A
= 12 vectơ
Bài 10: Một lớp học chỉ có các bàn đôi (2 chỗ ngồi). Hỏi lớp này có bao nhiêu học sinh, biết
rằng chỉ có thể sắp xếp chỗ ngồi cho học sinh của lớp này theo 132 sơ đồ khác nhau? (Số
chỗ ngồi vừa đủ số học sinh)
ĐS:
2
n
A
= 132
⇔
n = 12
Bài 11: Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số:
a) Các chữ số khác nhau?
b) Hai chữ số kề nhau phải khác nhau?
ĐS: a)
4
9
9.A
b) Có 9
5
số
Bài 12: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu:
a) Số gồm 5 chữ số khác nhau?
b) Số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau?
c) Số gồm 5 chữ số khác nhau và phải có mặt chữ số 5?
ĐS: a) 6.
4
6
A
b)
3 3
5 5
6. 3.5A A+
c) Số gồm 5 chữ số có dạng:
abcde
•
Nếu a = 5 thì có
4
6
A
số
•
Nếu a
≠
5 thì a có 5 cách chọn. Số 5 có thể đặt vào 1 trong các vò trí b, c, d, e
⇒
có 4
cách chọn vò trí cho số 5. 3 vò trí còn lại có thể chọn từ 5 chữ số còn lại
⇒
có
3
5
A
cách
chọn.
⇒
Có
4 3
6 5
4.5.A A+
= 1560 số
Bài 13: Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 9 có thể lập bao nhiêu biển số xe gồm 3 chữ số (trừ số 000)?
ĐS:
3
10
1A −
= 999
Bài 14: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số với:
a) Chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau?
Trang 27
Đại số 11 Trần Só Tùng

b) Chữ số đầu và cuối khác nhau?
c) Hai chữ số đầu giống nhau và hai chữ số cuối giống nhau?
ĐS: a) 9.
4
10
A
= 9.10
4
số
b) Có tất cả:
6 5
10 10
A A−
= 9.10
5
số gồm 6 chữ số
⇒
Có 9.10
5
– 9.10
4
số
c) Có 9.10.10.10 = 9000 số
Bài 15: Có bao nhiêu số điện thoại có 6 chữ số? Trong đó có bao nhiêu số điện thoại có 6 chữ
số khác nhau?
ĐS: a)
6
10
A
= 10
6
b)
6
10
A
= 15120
Bài 16: Một biển số xe gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau. Các chữ cái được lấy
từ 26 chữ cái A, B, C, …, Z. Các chữ số được lấy từ 10 chữ số 0, 1, 2, …, 9. Hỏi:
a) Có bao nhiêu biển số xe trong đó có ít nhất một chữ cái khác chữ cái O và các chữ số
đôi một khác nhau?
b) Có bao nhiêu biển số xe có hai chữ cái khác nhau và có đúng 2 chữ số lẻ giống nhau?
ĐS: a) Số cách chọn 2 chữ cái: 26
×
26 – 1 = 675 cách
Số cách chọn 4 chữ số:
4
10
A
= 5040 cách
⇒
Số biển số xe: 675
×
5040 = 3.402.000 số
b)
•
Chữ cái thứ nhất: có 26 cách chọn
Chữ cái thứ hai: có 25 cách chọn
•
Các cặp số lẻ giống nhau có thể là: (1;1), (3;3), (5;5), (7;7), (9;9)
⇒
Có 5 cách chọn 1 cặp số lẻ.
Xếp một cặp số lẻ vào 4 vò trí
⇒
có
2
4
C
cách
⇒
Có 5.
2
4
C
cách sắp xếp cặp số lẻ.
•
Còn lại 2 vò trí là các chữ số chẵn:
Chữ số chẵn thứ nhất: có 5 cách chọn
Chữ số chẵn thứ hai: có 5 cách chọn
⇒
Có 26
×
25
×
5
×

2
4
C
×
5
×
5 = 487500 cách
Bài 17: a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau mà tổng các chữ số đó bằng 18?
b) Hỏi có bao nhiêu số lẻ thoả mãn điều kiện đó?
ĐS: Chú ý: 18 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 8
18 = 0 + 1 + 2 + 3 + 5 + 7
18 = 0 + 1 + 2 + 4 + 5 + 6
a) 3
×
5
×
5! b) 192 + 384 + 192 = 768 số
Bài 18: Từ 20 học sinh cần chọn ra một ban đại diện lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 1 thư
ký. Hỏi có mấy cách chọn?
ĐS: 6840.
Bài 19: Huấn luyện viên một đội bóng muốn chọn 5 cầu thủ để đá quả luân lưu 11 mét. Có
bao nhiêu cách chọn nếu:
a/ Cả 11 cầu thủ có khả năng như nhau? (kể cả thủ môn).
b/ Có 3 cầu thủ bò chấn thương và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A đá quả số 1 và cầu thủ B
đá quả số 4.
ĐS: a/ 55440. b/ 120.
Bài 20: Một người muốn xếp đặt một số pho tượng vào một dãy 6 chỗ trống trên một kệ trang
trí. Có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:
Trang 28
Trần Só Tùng Đại số 11
a/ Người đó có 6 pho tượng khác nhau?
b/ Người đó có 4 pho tượng khác nhau?
c/ Người đó có 8 pho tượng khác nhau?
ĐS: a/ 6!. b/ 360. c/ 20160.
Bài 21: Với 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và
thoả:
a/ Số chẵn. b/ Bắt đầu bằng số 24. c/ Bắt đầu bằng số 345.
d/ Bắt đầu bằng số 1? Từ đó suy ra các số không bắt đầu bằng số 1?
ĐS: a/ 312. b/ 24. c/ 6. d/ 120 ; 480.
Bài 22: Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Có thể lập được bao nhiêu số n gồm 5 chữ số
khác nhau đôi một lấy từ X trong mỗi trường hợp sau:
a/ n là số chẵn?
b/ Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1?
(ĐHQG TP.HCM, 99, khối D, đợt 2)
ĐS: a/ 3000. b/ 2280.
Bài 23: a/ Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 6, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và
chia hết cho 3.
b/ Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau sao cho
trong các chữ số đó có mặt số 0 và số 1.
(HVCN Bưu chính Viễn thông, 1999)
c/ Từ 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau
trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4.
ĐS: a/ 18. b/ 42000. c/ 13320.
Bài 24: a/ Tính tổng của tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một được tạo
thành từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8.
b/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ 5 chữ số 0, 1, 2, 3,
4. Tính tổng của các số này.
ĐS: a/ 37332960. b/ 96 ; 259980.
Bài 25: a/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 10 (chữ số hàng
vạn khác 0).
(ĐH Đà Nẵng, 2000, khối A, đợt 1)
b/ Cho 10 chữ số 0, 1, 2, , 9. Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600000
xây dựng từ 10 chữ số đã cho.
(ĐH Y khoa Hà Nội, 1997)
ĐS: a/ 3024. b/ 36960.
Trang 29
Đại số 11 Trần Só Tùng

IV. Tổ hợp
1. Tổ hợp (không lặp):
Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (1
≤
k
≤
n) phần tử của A được gọi là một tổ
hợp chập k của n phần tử.
Số các tổ hợp chập k của n phần tử:
!
!( )!
k
n
n
C
k n k
=
−
•
Qui ước:
0
n
C
= 1
Tính chất:
0
1
1 1
1
1
1
n
n n
k n k
n n
k k k
n n n
k k
n n
C C
C C
C C C
n k
C C
k
−
−
− −
−
= =
=
= +
− +
=
2. Tổ hợp lặp:
Cho tập A =
{ }
1 2
; ; ;
n
a a a
và số tự nhiên k bất kì. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là
một hợp gồm k phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A.
Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử:
1
1 1
k k m
n n k n k
C C C
−
+ − + −
= =
3. Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp:
•
Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bởi công thức:
!
k k
n n
A k C=
•
Chỉnh hợp: có thứ tự. Tổ hợp: không có thứ tự.
⇒
Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào vò trí các phần tử –> chỉnh hợp
Ngược lại, là tổ hợp.
•
Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k
≤
n):
+ Không thứ tự, không hoàn lại:
k
n
C
+ Có thứ tự, không hoàn lại:
k
n
A
+ Có thứ tự, có hoàn lại:
k
n
A
Dạng 1: Tính giá trò biểu thức tổ hợp
Bài 1: Tính: A =
23 13 7
25 15 10
3C C C− −
B =
4 3 4 2
7 7 8 3
5 6 6
2
10 10 11
1
1
C C C A
P
C C C
+ + −
+
+ + −
ĐS: A = – 165, B = 4
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:
S =
2 3
. .
n n n
n n n
C C C
P =
8 9 10
2
15 15 15
10
17
2
.
n
k
n n k
P
C C C
A P C
+
−
+ +
+
Trang 30
Trần Só Tùng Đại số 11
Q =
2
1
1 1 1
2
k n
n n n
n
k n
n n n
C C C
C k n
C C C
− −
+ + + + +
ĐS: S =
3
(3 )!
( !)
n
n
P = (n+1)(n+2) + 1 Q =
( 1)
2
n n +
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức tổ hợp
Bài 1: Chứng minh các hệ thức sau:
a)
. .
k p k p k
n n k n p
C C C C
−
−
=
(k ≤ p ≤ n) b)
1
1
r r
n n
n
C C
r
−
−
=
Bài 2: Chứng minh các hệ thức sau:
a)
1 1 1
2
2
m m m m
n n n n
C C C C
+ − +
+
+ + =
b)
1 2 3
3
3 3
k k k k k
n n n n n
C C C C C
− − −
+
+ + + =
(3 ≤ k ≤ n)
ĐS: Sử dụng tính chất:
1
1
k k k
n n n
C C C
−
+
+ =
Bài 3: Chứng minh các hệ thức sau:
a)
1 2 3 4
4
4 6 4
k k k k k
n n n n n n
C C C C C C k
− − − −
+
+ + + + =
(4 ≤ k ≤ n)
b)
1
1
1
p p
n n
n
C C
p
−
+
+
=
c)
2
2
( 1) ( 1)
k k
n n
k k C n n C
−
−
− = −
( 2 < k < n)
Bài 4: Chứng minh các hệ thức sau:
a)
0 1 1 0
. . .
p p p p
r q r q r q r q
C C C C C C C
−
+
+ + + =
b)
0 2 1 2 2
2
( ) ( ) ( )
n n
n n n n
C C C C+ + + =
c)
0 2 4 2 1 3 2 1 2 1
2 2 2 2 2 2 2

p p p
p p p p p p p
C C C C C C C c
− −
+ + + + = + + + =
d)
1 2 3
1
1 ( 1) ( 1)
p p p p
n n n n n
C C C C C
−
− + − + + − = −
ĐS: a) Sử dụng khai triển: (1+x)
r
.(1+x)
q
= (1+x)
r+q
. So sánh hệ số của x
p
ở 2 vế.
b) Sử dụng câu a) với p = q = r = n
c) Sử dụng (x+y)
2p
và (x–y)
2p
d) Sử dụng
1
1 1
r r r
n n n
C C C
−
− −
= +
, với r lẻ thì nhân 2 vế với –1.
Dạng 3 : Chứng minh bất đẳng thức tổ hợp
Bài 1: Chứng minh rằng:
2
2
1 1
.
2 1
2
n
n
n
C
n
<
+
( n ∈ N, n ≥ 1)
HD: Biến đổi vế trái:
2
2 2
1 (2 )! 1.3.5 (2 1)
.
2.4.6 (2 )
2 2 . ! !
n
n
n n
n n
C
n
n n
−
= =
Vậy ta phải chứng minh:
1.3.5 (2 1) 1
2.4.6 (2 )
2 1
n
n
n
−
<
+
Ta có:
2 2
2 2
2 1 ( 2 1) ( 2 1) 2 1
2
2 1
4 4 1
k k k k
k
k
k k
− − − −
= < =
+
−
Cho k lần lượt từ 1, 2, …, n. Rồi nhân các BĐT vế theo vế, ta được đpcm.
Bài 2: Chứng minh rằng:
2
2 2 2
. ( )
n n n
n k n k n
C C C
+ −
≤
(với k, n ∈ N, 0 ≤ k ≤ n)
HD:
•
Đặt u
k
=
2 2
.
n n
n k n k
C C
+ −
(k = 0;1;…;n)
Ta chứng minh: u
k
> u
k+1
(*)
Thật vậy, (*)
⇔

2 2 2 1 2 1
. .
n n n n
n k n k n k n k
C C C C
+ − + + − −
>

⇔
n + 2nk > 0
Điều này luôn luôn đúng
⇒
đpcm.
Trang 31
Đại số 11 Trần Só Tùng

Dạng 4: Tìm giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức tổ hợp
Bài 1: a) Chứng minh:
1k k
n n
C C
−
<
với n = 2m, k ≤ m. Từ đó suy ra
m
n
C
là lớn nhất.
b) Chứng minh:
1k k
n n
C C
−
<
với n = 2m + 1, k ≤ m.
Từ đó suy ra
1
;
m m
n n
C C
+
là lớn nhất.
HD: a) Theo tính chất:
1
1
.
k k
n n
n k
C C
k
−
− +
=

⇒

1
1
1
k
n
k
n
C
n
k
C
−
+
= −
Với k
≤
m
⇒
2k
≤
n
⇒

1
1 1
n
k
+
− >

⇒

1k k
n n
C C
−
>
Vì
k n k
n n
C C
−
=
nên
k
n
C
lớn nhất.
b) Tương tự
Bài 2: Cho n > 2, p ∈ [1; n]. Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của
p
n
C
.
HD: Vì
p n p
n n
C C
−
=
nên ta chi cần xét 1
≤
p
≤

2
n
Ta có:
1p p
n n
C C
−
>

⇔

1
1
p
n
p
n
C
n p
p
C
−
− +
=
> 1
⇔
p <
1
2
n +
Vậy
p
n
C
nhỏ nhất khi p = 1 hoặc p = n – 1, ứng với
1 1n
n n
C C
−
=
= n
p
n
C
lớn nhất khi p =
1
2
n −
(nếu n lẻ) hoặc p =
2
n
(nếu n chẵn)
Bài 3: Với giá trò nào của p thì
p
n
C
lớn nhất.
HD: Ta có:
1
1 1
1
p
m
p
m
C
m p m
p p
C
−
− + +
= = −
. Tỉ số này giảm khi p tăng.
•

1p p
m m
C C
−
>

⇔

1
1
m p
p
− +
≥
, do đó: p
≤

1
2
m +
•
Nếu m chẵn: m = 2k
⇒
p
≤
k +
1
2
Để
1p p
m m
C C
−
>
ta phải có: p
≤
k +
1
2
, vì p, k
∈
N nên chọn p = k
•
Nếu m lẻ: m = 2k + 1
⇒
p
≤
k + 1, ta sẽ có:
1
1
p
m
p
m
C
C
−
=
khi p = k + 1
⇒

1
2 1
(2 1)!
( 1)! !
p k
m k
k
C C
k k
+
+
+
= =
+
* Áp dụng bài toán này ta có thể giải nhiều bài toán khác. Ví dụ:
Có 25 học sinh. Muốn lập thành những nhóm gồm p học sinh. Tìm giá trò của p để được số
cách chia nhóm là lớn nhất? Tìm số cách chia nhóm đó.
* Vì có 25 học sinh, chọn p em nên số nhóm có thể lập là
25
p
C
.
Theo trên, ta có m = 25 (lẻ) với k = 12 do đó
25
p
C
lớn nhất khi p = k + 1 = 13.
Vậy p = 13, khi đó: số nhóm tối đa có thể lập:
13
25
C
= 5200300.
Trang 32
Trần Só Tùng Đại số 11
Dạng 5 : Giải phương trình, bất phương trình có chứa tổ hợp
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a)
4
3 4
1
24
23
n
n
n n
A
A C
−
+
=
−
b)
4 5 6
1 1 1
x x x
C C C
− =
c)
1 2 3 10
1023
x x x x
x x x x
C C C C
− − − −
+ + + + =
ĐS: a) n = 5 b) x = 2 c) x = 10
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a)
4 2 10
10 10
x x
x x
C C
+ −
+ +
=
b)
2 2 1
4 3 3
. . 0
x
x C x C C− + =
c)
2 2
2
101
x
x x
A C
−
−
+ =
d)
3 3
8 6
5
x
x x
C A
+
+ +
=
e)
1 2 3 2
6 6 9 14
x x x
C C C x+ + = −
ĐS: a) x = 14 b) x = 3 c) x = 10 d) x = 17 e) x = 7
Bài 3: Giải các bất phương trình:
a)
3
1
4
3
1
1
14
n
n
n
C
P
A
−
−
+
<
b)
2
5
3
60
( )!
k
n
n
P
A
n k
+
+
+
≤
−
c)
4 3 2
1 1 2
5
0
4
n n n
C C A
− − −
− − <
ĐS: a) đk: n
≥
3, n
2
+ n – 42 > 0
⇔
n
≥
6
b)
( 5)( 4)( 1) 0
k n
n n n k

≤

+ + − + ≤


•
Xét với n
≥
4: bpt vô nghiệm

•
Xét n
∈
{0,1,2,3} ta được các nghiệm là: (0;0), (1;0), (1;1), (2;2), (3,3)
c) đk: n
≥
5, n
2
– 9n – 22 < 0
⇒
n = 6; 7; 8; 9; 10
Bài 4: Giải các phương trình và bất phương trình:
a/
2 3
1 1
2 7( 1)
x
x x
C C x
−
+ −
+ = −
b/
3 2
14 .
x
x x
A C x
−
+ =
c/
5
5
2
336.
x
x
x
A
C
−
−
=
d/
2
28
2 4
24
225
.
52
x
x
C
C
−
=
e/
4 3 2
1 1 2
5
0.
4
n n n
C C A
− − −
− − <
f/
3
1
4
3
1
1
14
n
n
n
C
P
A
−
−
+
<
.
g/
2 2
1
2 3 30.
x x
C A
+
+ <
h/
2 2 3
2
1 6
10.
2
x x x
A A C
x
− ≤ +
ĐS: a/ x = 5. b/ x = 5. c/ x = 8. d/ x = 7.
e/
5 10, .n n N≤ ≤ ∈
f/
6, .x n N≥ ∈
g/ x = 2. h/ x = 3, x = 4.
Bài 5: Giải các hệ phương trình:
a)
1
1
126
720
x
y
y x
y
x
x
A
C
P
P
−
+
+


+ =


=

b)
1 1
1
: : 6 : 5: 2
y y y
x x x
C C C
+ −
+
=
c)
1
1
0
4 5 0
y y
x x
y y
x x
C C
C C
+
−

− =


− =


ĐS: a)
5
7
x
y

=

=

b)
8
3
x
y

=

=

c)
17
8
x
y

=

=

Bài 6: Giải các phương trình và hệ bất phương trình:
a/
2 5 90
5 2 80
y y
x x
y y
x x
A C
A C

+ =


+ =


b/
2
1
:
3
1
:
24
x x
y y
x x
y y
C C
C A
+

=



=

c/
3 1
lg(3 ) lg 1
3 6
x x
C C
x y

− ≤

− ≤

ĐS: a/ x = 5, y = 2. b/ x = 4, y = 8. c/
3 6; , .x x y Z
+
≤ ≤ ∈
Bài 7: Tìm số tự nhiên k sao cho
1 2
14 14 14
, ,
k k k
C C C
+ +
lập thành một cấp số cộng.
Trang 33
Đại số 11 Trần Só Tùng

ĐS: k = 4; 8.
Dạng 6: Tìm số tổ hợp trong các bài toán số học
Bài 1: Cho 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lý thuyết và 6 bài tập. Người ta cấu tạo thành các đề
thi. Biết rằng trong mỗi đề thi phải gồm 3 câu hỏi, trong đó nhất thiết phải có ít nhất 1 câu
lý thuyết và 1 bài tập. Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu đề thi?
ĐS:
•
Đề gồm 2 câu lý thuyết và 1 bài tập:
2 1
4 6
. 36C C =
•
Đề gồm 1 câu lý thuyết và 2 bài tập:
1 2
4 6
. 60C C =
Vậy có: 36 + 60 = 96 đề thi.
Bài 2: Một lớp học có 40 học sinh, trong đó gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn
chọn một ban cán sự lớp gồm 4 em. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu:
a) Gồm 4 học sinh tuỳ ý. b) Có 1 nam và 3 nữ. c) Có 2 nam và 2 nữ.
d) Có ít nhất 1 nam. e) Có ít nhất 1 nam và 1 nữ.
ĐS: a)
4
40
C
b)
1 3
25 15
.C C
c)
2 2
25 15
.C C
d)
1 3 2 2 3 1 4
25 15 25 15 25 15 25
. . .C C C C C C C+ + +
e)
4 4 4
40 25 15
C C C− −
Bài 3: Cho 5 điểm trong mặt phẳng và không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu
vectơ tạo thành từ 5 điểm ấy? Có bao nhiêu đoạn thẳng tạo thành từ 5 điểm ấy?
ĐS: 20 ; 10.
Bài 4: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem
thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn. Một bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có
bao nhiêu cách làm như vậy?
ĐS: 1200.
Bài 5: Một túi chứa 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó, có bao nhiêu
cách lấy được:
a/ 4 viên bi cùng màu? b/ 2 viên bi trắng, 2 viên bi xanh?
ĐS: a/ 20. b/ 150.
Bài 6: Từ 20 người, chọn ra một đoàn đại biểu gồm 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn, 1 thư ký và 3
ủy viên. Hỏi có mấy cách chọn?
ĐS: 4651200.
Bài 7: Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi
một khác nhau), người ta muốn chọn ra một bó hóa gồm 7 bông, hỏi có bao nhiêu cách
chọn bó hoa trong đó:
a/ Có đúng 1 bông hồng đỏ?
b/ Có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ?
ĐS: a/ 112 b/ 150.
Bài 8: Từ 8 số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số được chọn từ 8
chữ số trên, trong đó chữ số 6 có mặt đúng 3 lần, chữ số khác có mặt đúng 1 lần.
ĐS: 544320. (HVCNBCVT, Tp.HCM, 1999)
Bài 9: Từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} có thể lập được bao nhiêu số:
a/ Chẵn gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi một và chữ số đứng đầu là chữ số 2?
b/ Gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi một sao cho 5 chữ số đó có đúng 3 chữ số chẵn và 2
chữ số lẻ?
ĐS: a/ 360. b/ 2448. (ĐH Cần Thơ, 2001)
Bài 10: a/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu tiên phải
Trang 34